亿阶线性方程组求解器应用合作

 

项目简介

线性方程组的求解问题是一个十分古老的问题，早在中国古代数学专著《九章算术》第八章就详细记载了一次线性方程组的求解方法。时隔数千年的今天，线性方程组求解仍是众多科学与工程领域重点研究的课题之一。

线性方程组的求解为何如此重要呢？众所周知，数学物理模型的求解是众多工程生产与科研领域必不可少的工作之一。随着计算机的发展，有限差分(FD)、有限元(FEM)、边界元(BEM)、无网格方法(Meshless Method)等一系列的数值计算方法相继诞生。特别是有限元方法，到目前为止理论体系已经比较完善，并已在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域中广泛应用，成为工程设计中的重要工具。这些数值计算方法具有一个相同之处：将实际问题导出的数学物理模型通过特定的方式离散成一个线性代数方程组。除此之外，结构分析、网络分析、天地测量、数据及最优化问题等都常遇到线性方程组的求解问题。因此，可以毫不夸张的讲大部分科学与工程问题都要归结为一个线性方程组的求解问题。

快速、精确地求解线性方程组可以很大程度地提高生产、研究效率。经过半个多世纪众多研究者的不断探索，目前有关的方法和理论已相对比较成熟，产生了一批优秀的算法。然而，随着科技的进步，所求解问题规模的增大，模型结构越来越复杂且对计算精度的要求日益提高。这也使得线性方程组的规模急剧增加，以至于传统的求解工具解决不了如此大规模的问题。尤其是当超大规模稀疏矩阵非对称且无特定结构时，其求解难度极大。

 

项目进展

近几年，随着计算机集群系统的发展，处理核心数量和浮动性能急剧增加，计算能力大大提高，使超大规模线性方程组的求解重现希望。

浪潮-英特尔中国并行计算联合实验室的高性能计算应用开发团队目前已经完成了＂基于CPU+MIC异构平台的亿阶以上超大规模线性方程组高性能求解系统（v1.0版）＂的开发工作，并在测试算例中表现出优异的性能。

 

项目特点

该超大规模线性方程组高性能求解器具有以下三大特色：

1. 适用范围广

高性能求解系统采用了Krylov子空间算法，也是少数几个适用于超大规模线性方程组求解的算法之一。这决定了高性能求解系统不仅可求解经有限元方法推导出的刚度矩阵对称正定(SPD)的线性方程组，同时也可求解系数矩阵非对称的线性方程组。因此，无论对于科研还是实际应用中系数矩阵正定的线性方程组原则上都可求解，且对于矩阵结构无特殊要求。

2. 计算能力强

高性能求解系统基于MPI+OpenMP+MIC架构开发的。整个系统对硬件资源的利用效率很高，充分利用了CPU的逻辑、控制能力以及MIC众核处理设备强大的计算能力。

3. 创新

由于系统开采用了一种Krylov子空间算法，大量的全局集合通信不可避免，使得算法的天然并行性不是十分良好，这是由算法自身决定的。该求解器在不改变算法本质思想的前提下，对算法结构做了调整，并成功隐藏了集合通信时间。首次将此算法成功移植到CPU+MIC异构集群平台上并展现出优异性能。

 

应用案例

太原理工大学工程数值计算团队主持的“局部径向基函数配点法(Local RBSs colloction methods)求解高维偏微分方程”课题中遇到了计算瓶颈。由于所求问题的维度每增加1维，生成线性方程组的阶数就要扩大10倍，原有的求解工具在现有计算条件下最多只能完成6维问题的求解。浪潮开发的超大规模线性方程组高性能求解器在这一难题上得到了很好的应用，仅利用3个计算节点(每个节点内配置2*Intel Xeon E5-2650 v2+2*Intel Xeon Phi 7120P)在20s之内完成了7维问题线性方程组的求解，4min之内即完成了8维问题线性方程组（已达到亿阶规模）的求解。

 

合作研究

我校超算中心和浪潮高性能计算开发团体开展合作研究，在大连理工大学征集“超大规模线性方程组求解器”应用实例，欢迎有需求的课题组和我们联系。

邮箱：ygchen@dlut.edu.cn

电话：84707458